ベルヌーイの定理の考え方

化学工学／流体の基礎流体の基礎の3本目（全7本）公開更新広告

位置、圧力、速度の3つのエネルギーから、ベルヌーイの定理とその表現、圧力損失の考え方までを順に解説します。

この記事の内容
  1. 液体の持つエネルギー
  2. ベルヌーイの定理
  3. 圧力損失の考慮
  4. 関連記事

液体の持つエネルギー

液体の持つエネルギーは位置エネルギー、圧力エネルギー、速度エネルギーの3つです。

ベルヌーイの定理はこの3要素で構成されているため、それぞれをまず解説します。

位置エネルギー

ある基準面よりも高い位置にある液は位置エネルギーを持ちます。

位置エネルギー［J/kg］

$$gz$$

式は横にスクロールできます

g：重力加速度［m/s2］、z：高さ［m］

また基準面より低い位置にある液はマイナスの位置エネルギーを持ちます。

これは基準面をどこに設けるかによるだけで、意味は変わりません。

この位置エネルギーに逆らって上に液体を移送するのがポンプです。

基準面（z=0）の上に液面が高さzにあるタンク、下に液面がz<0にある槽。基準面より上の液は位置エネルギーgzが正、下の液は負になる
基準面からの高さ z。上なら gz は正、下なら負

圧力エネルギー

タンクの液面には大気圧や飽和蒸気圧などの圧力がかかります。

これら液面にかかる圧力が圧力エネルギーです。

圧力エネルギー［J/kg］

$$\frac{P}{\rho}$$

式は横にスクロールできます

P：圧力［Pa］、ρ：密度［kg/m3］

また配管内においては管壁にかかる圧を圧力エネルギーと考えます。

配管内への圧力は上位にあるタンクからの圧力（ヘッド圧）はもちろん、ポンプの送液圧力によってもかかります。

開放形のタンクから出た配管の途中にポンプがある図。液面に下向きの圧力P、ポンプの後の配管では管壁に内側から圧力Pがかかる様子を矢印で示す
圧力エネルギーの P は、液面にかかる圧力と、管壁にかかる圧力

速度エネルギー

配管内を流れる流体は速度エネルギーを持ちます。

配管内の流速によって速度エネルギーは決定します。

速度エネルギー［J/kg］

$$\frac{ \ u^2 \ }{2}$$

式は横にスクロールできます

u：速度［m/s］

配管流速は連続の式を利用して配管断面積［m2］や体積流量［m3/s］から算出可能です。

質量流量［kg/s］を測定している場合は測定箇所の密度［kg/m3］も必要となります。

太い管から細い管へ絞られる配管。断面積A1：A2が4：1のとき、細い側の流速u2は太い側の流速u1の4倍になる。体積流量Qは同じ
断面積が小さいほど流速 u は大きい（例：断面積比 4：1）

ベルヌーイの定理

ベルヌーイの定理は、これまで紹介した位置エネルギーや圧力エネルギー、速度エネルギーの和が一定になることを示したものです。

この式は理想流体において成立します。

つまり摩擦や渦によるエネルギーの損失が無いものとして考えます。

エネルギーでの表現

ベルヌーイの定理は以下のように表します。

ベルヌーイの定理［J/kg］

$$gz+\frac{P}{\rho}+\frac{ \ u^2 \ }{2}=一定$$

式は横にスクロールできます

ρ：密度［kg/m3］、g：重力加速度［m/s2］、z：高さ［m］
P：圧力［Pa］、u：速度［m/s］

高さと太さが変わる管路の3つの断面①②③と、各断面の位置水頭・圧力水頭・速度水頭を積み上げた棒。どの断面でも合計は全水頭6mで一定
各断面の水頭の内訳（例：全水頭 6 m の理想流体、①の流速 1 m/s）。太い管ほど速度水頭は小さい

圧力での表現

ベルヌーイの定理に密度ρをかけることで圧力換算でも表現可能です。

このときの圧力エネルギー部分（P）を静圧、速度エネルギー部分（ρu2/2）を動圧、そして静圧と動圧の和を全圧と呼びます。

水平な管に、管壁の取り出し口の管と、先端を流れに向けたピトー管がつながる。ピトー管の液面は静圧の管より動圧の分だけ高く、その高さが全圧
静圧は壁で、全圧は流れに向けたピトー管で測る（例：流速 4 m/s、静圧は水頭 2 m）

ベルヌーイの定理（圧力換算）［Pa］

$$\rho gz+P+\frac{ \rho \ u^2\ }{2}=一定$$

式は横にスクロールできます

ρ：密度［kg/m3］、g：重力加速度［m/s2］、z：高さ［m］
P：圧力［Pa］、u：速度［m/s］

水頭（ヘッド）での表現

エネルギーの大きさを基準面からの高さに換算したものを水頭（ヘッド）と呼びます。

変換後の値は速度水頭、位置水頭、圧力水頭と呼ばれます。

重力加速度gで割ることで算出される値です。

ベルヌーイの定理（水頭換算）［m］

$$z+\frac{P}{\rho g}+\frac{ \ u^2 \ }{2g}=一定$$

式は横にスクロールできます

ρ：密度［kg/m3］、g：重力加速度［m/s2］、z：高さ［m］
P：圧力［Pa］、u：速度［m/s］

圧力損失の考慮

ベルヌーイの定理は理想流体であること、つまり非粘性である場合に成り立ちます。

ただし実際は流体の粘性により管内摩擦が発生したり、配管継手部分にて渦によるエネルギー損失が発生したりします。

これら損失の名称は圧力損失です。

ベルヌーイの定理に圧力損失、さらにポンプやブロワなどから加える動力を補正項として加えることで実用的な計算が可能になります。

この式を機械的エネルギー収支式と呼びます。

機械的エネルギー収支式［J/kg］

$$gz_1+\frac{P_1}{\rho}+\frac{ \ u_1^2 \ }{2}+W=gz_2+\frac{P_2}{\rho}+\frac{ \ u_2^2 \ }{2}+F$$

式は横にスクロールできます

ρ：密度［kg/m3］、g：重力加速度［m/s2］、z：高さ［m］
P：圧力［Pa］、u：速度［m/s］、W：外部動力［J/kg］、F：圧力損失［J/kg］

低いタンク①から高いタンク②へ、ポンプを通して送液する系統。各液面の高さz1、z2と圧力P1、P2、ポンプが加える動力W、配管で失われる圧力損失Fを示す
①から②へ。ポンプが W を加え、配管の摩擦・渦が F を失わせる

圧力損失Fはファニングの式より求めることができます。

ファニングの式による配管の摩擦損失の計算

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