算術平均・加重平均・調和平均・幾何平均の違い

算術平均や調和平均などの様々な平均値と、時系列データで使う移動平均を、式や使用例とあわせて紹介します。

この記事の内容

様々な平均
時系列データの平均
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様々な平均

様々な平均について式や使用例も含めて紹介します。

算術平均（相加平均）

算術平均は各データの合計をデータ数で割った値です。

一般的に”平均”というと算術平均を指します。

相加平均とも呼びます。

算術平均

$$ \begin{align}\bar{x}&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_{i}\\ &=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots+x_{n}}{n} \end{align}$$

式は横にスクロールできます

n：データ数、x：各データ

加重平均

加重平均は各データに別の値（重み）を乗じてから算出する値です。

重みとは各データに対しての重要度を指します。

加重平均

$$ \begin{align}W&=\frac{\sum_{i=1}^n w_{i}x_{i}}{\sum_{i=1}^n w_{i}}\\ &=\frac{w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots+w_{n}x_{n}}{w_{1}+w_{2}+\cdots+w_{n}} \end{align}$$

式は横にスクロールできます

n：データ数、x：各データ、w：重み

加重平均は複数の集団から全体平均を求める時に使われます。

例えば日々の歩留まりから1か月の歩留まりを算出するとします。

単純に日々の歩留まりを使って算術平均を求めるのではなく、”製造数量”＝重み wとして加重平均を求めることで、より現実的な歩留まりが算出できます。

上記の例では、1か月間の全データを使って歩留まりを算出したことと同じ意味をもちます。

4日分の歩留まり98,70,96,85％を、棒の幅を製造数量10,50,10,30tとして並べた図。算術平均87.2％より、製造量の多い70％の日に引かれた加重平均79.9％のほうが低い。 — 例：棒の幅が製造数量。製造量の多い日に引かれて、加重平均は算術平均より低い

調和平均

調和平均は各データの逆数の算術平均を求め、その逆数をとった値です。

速度のように比率で表示される数の平均を算出する際に使われます。

調和平均

$$ \begin{align}\frac{1}{H}&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_{i}}\\ &=\frac{\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\cdots+\frac{1}{x_{n}}}{n} \end{align}$$

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n：データ数、x：各データ

定義通りに式を計算すると見づらいため、逆数の形で考える場合もあります。

調和平均（変形）

$$ \begin{align}H&=(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_{i}})^{-1}\\ &=\frac{n}{\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\cdots+\frac{1}{x_{n}}} \end{align}$$

式は横にスクロールできます

n：データ数、x：各データ

調和平均は”平均時速”や”並列の電気回路の抵抗”を計算するときに使われます。

例えば100kmの道を行きを時速80 km/h、帰りを50 km/hで往復し平均時速を出すとします。

実は単純に2つの平均(80+50)/2=65 km/hではありません。

行きに100/80時間、帰りに100/50時間の時間を要しているため、往復200km/(100/50時間+100/80時間)と計算して61.5 km/hが答えになります。

横軸が時間、縦軸が走った距離のグラフ。行きは80 km/hで1.25時間、帰りは50 km/hで2時間かかり、往復200kmに3.25時間。平均は傾き61.5 km/hの直線で、65 km/hの直線なら3.08時間で着いてしまう。 — 遅い帰りに時間がかかるぶん、平均は65 km/hより低い61.5 km/h

幾何平均（相乗平均）

幾何平均は各データの対数の算術平均を求め、指数で戻した値です。

複利計算や経済成長率など比率や割合で変化する数の平均を算出する際に使われます。

幾何平均

$$ \begin{align}G&=(\prod_{i=1}^n x_{i})^{1/n}\\ &=\sqrt[n]{x_{1}\times x_{2}\times \cdots \times x_{n}} \end{align}$$

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n：データ数、x：各データ

二乗平均

二乗平均は各データを二乗した値に対して算術平均を求めた値です。

単純に二乗平均で用いる例は少なく、二乗平均の平方根をとった二乗平均平方根 RMS（Root Mean Square）の形で利用されます。

二乗平均平方根（RMS）

$$ \begin{align}RMS&=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i)^2}\\ &=\sqrt{\frac{x_{1}^2+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}{n}} \end{align}$$

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n：データ数、x：各データ

標準偏差は二乗平均の考えを使っており、各データと平均値との差を二乗しています。

標準偏差

$$ \begin{align}\sigma &=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}\\ &=\sqrt{\frac{(x_{1}-\overline{x})^2+(x_{2}-\overline{x})^2+\cdots+(x_{n}-\overline{x})^2}{n}} \end{align}$$

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n：データ数、x：各データ、x̄：xの平均値

機械学習で予測式を立てた場合、実測値との差を表現するために二乗平均平方根誤差 RMSEという指標を用います。

標準偏差ではxの平均との差を求めましたが、RMSEでは予測値との差を求めます。

二乗平均平方根誤差（RMSE）

$$ \begin{align}RMSE&=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (y_i-\widehat{y}_i)^2}\\ &=\sqrt{\frac{(y_{1}-\widehat{y}_{1})^2+(y_{2}-\widehat{y}_{2})^2+\cdots+(y_{n}-\widehat{y}_{n})^2}{n}} \end{align}$$

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n：データ数、y：各実測値、ŷ：yの予測値

トリム平均

トリム平均はデータを小さい順に並べたときに、大きい側と小さい側から任意の数だけ取り除いた後に算術平均を求めた値です。

5％トリム平均や10％トリム平均など両端（もしくは片端）から割合で削除する場合もあります。

トリム平均（両端削除）

$$ \begin{align}K&=\frac{1}{n-2k}\sum_{i=1+k}^{n-k} x_{i}\\ &=\frac{x_{1+k}+x_{2+k}+\cdots+x_{n-k}}{n-2k} \end{align}$$

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n：データ数、x：各データ、k：取り除くデータ数

トリム平均は集めたデータの異常に高い値や低い値（外れ値）の影響を極力受けないように考慮したい場合に使われます。

例えば各々が”主観的に”つけた点数の平均などが挙げられます。

6個のデータ3,4,5,6,8,24を数直線に置き、調和平均5.4、トリム平均5.8、幾何平均6.4、算術平均8.3、二乗平均平方根11.0の位置を縦線で示した図。外れ値の24があるほど後の平均ほど右にずれる。 — 例：同じデータでも調和・幾何・算術・二乗平均の順に値が大きくなる

時系列データの平均

時系列データを平滑化するために移動平均という平均が用いられます。

基準から離れたデータにどれくらい重みづけして平均化するかによって使われる平均値が変わります。

単純移動平均

単純移動平均は基準データの前後のデータも含めた平均値として算出します。

特に基準前後のデータから移動平均をとったものを中心化移動平均と呼びます。

対して基準データに対して過去のデータのみを使った場合は後方移動平均、未来のデータのみを使った場合は前方移動平均と呼びます。

単純移動平均（SMA）

$$ \begin{align}SMA &=\frac{1}n\left\{x_{i}+\sum_{j=1}^k\left(x_{i-j}+x_{i+j}\right)\right\}\\ & =\frac{x_{i-k}+\cdot\cdot\cdot+x_{i-2}+x_{i-1}+x_{i}+x_{i+1}+x_{i+2}+\cdots+x_{i+k}}{n} \end{align}$$

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n：データ数、x_i：各データ、k：n=2k+1となる値

平均するデータ数が偶数の場合は両端のデータを0.5倍します。

平均範囲のデータは均等に重みづけされているため、過去のデータであっても重要度は同じとみなされます。

重みに変化をもたせる場合は後述する加重移動平均や指数移動平均を用います。

加重移動平均

加重移動平均は過去のデータになるに従い等間隔で重みが減少します。

過去の重みがある時点で0となるので、それより以前のデータは考慮されなくなる特徴があります。

加重移動平均（WMA）

$$ \begin{align}WMA&=\frac{\sum_{i=1}^nw_{i}x_{i}}{\sum_{i=1}^nw_{i}}\\ &=\frac{w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots+w_{n}x_{n}}{w_{1}+w_{2}+\cdots+w_{n}} \end{align}$$

式は横にスクロールできます

n：データ数、x：各データ、w：重み

指数移動平均

指数移動平均は過去のデータになるに従い指数関数的に重みが減少します。

過去に遡っても重みづけが0になることはなく、微小ながらも過去データのすべてを予測値に反映させます。

つまり最近のデータを重視しつつも古いデータを完全には切り捨てない移動平均です。

指数移動平均（EMA）

$$ \begin{align}EMA &=\frac{\sum_{i=0}^{n-1}x_{n-i}(1-\alpha)^i}{\sum_{i=0}^{n-1}(1-\alpha)^i}\\ &=\frac{x_{n}+x_{n-1}(1-\alpha)+x_{n-2}(1-\alpha)^{2}\cdots+x_{1}(1-\alpha)^{n-1}}{1+(1-\alpha)+(1-\alpha)^{2}+\cdots+(1-\alpha)^{n-1}} \end{align}$$

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n：データ数、x：各データ、α：平滑化定数

重みの減少率である平滑化定数αは0～1の値をとり、α=2/(n+1)が一般的です。