平成24年度 問32

反応物濃度をCとしたとき、反応速度がdC/dt=-kC（k：反応速度定数、t：時間）で示される反応において、その反応物の溶液が入った回分反応槽で、30分間の反応によって、その50%が反応した。この反応物の最終反応率を99%としたとき1回の操作にかかる時間、すなわち1サイクルの時間として最も近い値はどれか。
ただし、回分反応槽への原料仕込み、及び製品の取出しに合計1時間要するものとする。
なお、log2=0.693、log100=4.605とする。

1. 3.0時間
2. 3.5時間
3. 4.0時間
4. 4.5時間
5. 5.0時間

解答解説

正答は4番です。

反応速度式dC/dt=-kCは微分方程式であるため分離変数法で分解します。

まず変数Cとtで分けるためdC/C＝-kdtの形に変形します。

Cの関数として左辺を、tの関数として右辺をそれぞれ積分します。
∫(1/​C)dC＝∫−kdt
log|C|＝-kt＋定数

初期条件、t＝0の時の濃度を C₀とすると、log|C₀|＝-k × 0 + 定数となり、log|C₀|＝定数が成り立ちます。この式を元の積分後の式に代入します。
log|C|＝-kt＋log|C₀|
log|C/C₀|＝-kt

C/C₀は分子が反応後の原料濃度、分母が反応前の原料濃度ですので、残存率とみなすことが出来ます。ln(C/C₀)＝-ktを用いて、30分間の反応によって50％反応した時を考えます。
log|1-0.5|＝-0.5k
-log(0.5)/0.5＝k

反応速度定数kが求まりましたので、99％反応した時の反応時間を考えます。
log(1-0.99)＝-{-log(0.5)/0.5}t
log(0.01)＝log(0.5)/0.5 × t
log(100^-1)＝log(2^-1)/0.5 × t
-log100＝-log2 × t/0.5
t＝0.5 × (-4.605) / (-0.693)
t＝3.32 時間

「回分反応槽への原料仕込み、及び製品の取出しに合計1時間要する」と記載されていますので、1サイクルの時間は3.32＋1.00＝4.32時間です。最も近い値は4.5時間です。