平成23年度 問32

1次反応で崩壊するヨウ素131の半減期は8日である。ヨウ素131に基づく放射能の量が100万ベクレル（Bq）であった。放射能の量が1,000ベクレル（Bq）になるには、おおよそ何日かかるか。
ただし、log₁₀2=0.301である。

27日
80日
250日
2,400日
8,000日

解答解説

正答は2番です。

半減期は不安定な原子核の半数(半分)が崩壊するのにかかる時間を意味します。

初期値N₀個である半減期Tの原子のt日後における残存量をNを考えます。

1回目のとき、N＝1/2N₀個になります。2回目のとき、N＝(1/2N₀)(1/2)＝1/4N₀個になります。3回目のとき、N＝(1/4N₀)(1/2)＝1/8N₀個になります。よって半減期による減少量はN＝(1/2)^t/TN₀と表せます。

原子数ではありませんが、原子の数が増えると放射能の量は増えますので、放射能の量1,000 Bqでも同様に計算式に使用できます。つまりN=1,000です。

よって、1,000＝(1/2)^t/81,000,000と式を立てられ、79.73日です。初期値に最も近い値は80日です。

（計算参考）
1,000＝(1/2)^t/81,000,000
10³＝(1/2)^t/810⁶
log₁₀(10³)＝log₁₀{(1/2)^t/810⁶}
log₁₀(10³)＝log₁₀{(2^-1)^t/8}＋log₁₀(10⁶)
log₁₀(10³)＝log₁₀{2^-t/8}＋log₁₀(10⁶)
3＝-t/8×0.301＋6
t＝79.73