令和4年度 問35

　回分反応器でA→Bの反応を行った。この反応は反応物Aの濃度c_Aの二次反応である（次式）。

$$ \frac{dc_{A}}{dt}=-kc_{A}^{2}$$

（t：時間、k：反応速度定数）
　初期濃度c_A0から反応を開始して、t＝1時間でc_A＝0.5c_A0となった。c_A＝0.25c_A0となるのは反応開始から何時間後か。次のうち最も近い値はどれか。

解答解説

正答は4番です。

反応速度式dc_A/dt=-kc_A²は微分方程式であるため分離変数法で分解します。

まず変数Cとtで分けるためdc_A/c_A²＝-kdtの形に変形します。

c_Aの関数として左辺を、tの関数として右辺をそれぞれ積分します。
∫(1/c_A²)dc_A＝∫−kdt
-1/c_A＝-kt＋定数

初期条件、t＝0の時、-1/c_A0＝-k × 0 + 定数となり、-1/c_A0＝定数が成り立ちます。この式を元の積分後の式に代入します。
-1/c_A＝-kt＋(-1/c_A0)
1/c_A＝kt＋1/c_A0

Cは反応後の原料濃度ですので、50％反応した時はc_A=0.5c_A0とみなせます。1時間後に反応率が50%になっていることから反応速度定数を求めます。
1/c_A＝kt＋1/c_A0
1/(0.5c_A0)＝k × 1＋1/c_A0
2/c_A0＝k＋1/c_A0
k＝1/c_A0

反応定数kが求まりましたので、c_A=0.25c_A0の時の反応時間を考えます。75％反応したことを意味します。
1/c_A＝kt＋1/c_A0
1/(0.25c_A0)＝(1/c_A0)t＋1/c_A0
4/c_A0＝t/c_A0 ＋1/c_A0
4＝t＋1
t＝ 3 時間

よってc_A＝0.25c_A0となるのは、反応を開始してから3時間後です。