令和2年度 問30

　翼直径d₁［m］の小型撹拌槽（1）から翼直径d₂［m］の大型撹拌槽（2）に幾何学的相似を保って、（d₂/d₁）倍にスケールアップする。この際、翼回転数n₁［s^-1］も大型撹拌槽の翼回転数n₂［s^-1］に（n₂/n₁）倍するが、その大きさはスケールアップの基準により異なる。スケールアップの基準を次の1～5の変数量を一定にすることとしたとき、（n₂/n₁）が最も小さいのは、どの変数量を一定とした場合か。
　なお、記号の意味は次のとおりである。n：翼回転数、d：翼直径、µ：流体粘度、g：重力加速度、ρ：流体密度、N_p：動力数、π：円周率

1. 翼回転数：n
2. 撹拌レイノルズ数：ρnd²/µ
3. フルード数：n²d/g
4. 単位容積当たりの所要動力：N_pρn³d²
5. 翼先端速度：πnd

解答解説

正答は2番です。

大型撹拌槽での回転数n₂が最も小さくなるのは、翼直径dに対する累乗が大きく、翼回転数nに対する累乗が小さい変数量です。よって撹拌レイノルズ数が該当します。

確認のため、各変数量を一定にして回転数の比n₂/n₁を計算してみます。スケールアップ前を添字1、スケールアップ後を添字2とします。

1. 翼回転数：n₂＝n₁
   n₂/n₁＝1
   n₂/n₁＝(d₂/d₁)⁰
2. 撹拌レイノルズ数：ρn₂d₂²/μ＝ρn₁d₁²/μ
   n₂/n₁＝(d₂/d₁)²
3. フルード数：n₂²d₂/g＝n₁²d₁/g
   n₂/n₁＝(d₂/d₁)^1/2
4. 単位容積当たりの消費動力：N_pρn₂³d₂²＝N_pρn₁³d₁²
   n₂/n₁＝(d₂/d₁)^2/3
5. 翼先端速度：πn₂d₂＝πn₁d₁
   n₂/n₁＝(d₂/d₁)¹

「単位容積当たりの消費動力」における動力数N_pは、乱流域でのNpはほぼ一定の値を示します。明確に記載されていませんが、撹拌槽では乱流で扱うことが一般的なため今回N_pで計算しています。