平成29年度 問31

温度が一定に保たれた回分反応装置でA→Bの反応を行った。反応速度はA成分濃度の2乗に比例する。反応を開始してから1時間後に反応率が50%になった。反応率が75%となるのは、反応を開始してから何時間後か最も近いものはどれか。

解答解説

正答は3番です。

「反応速度はA成分濃度の2乗に比例する」とあるため、反応速度式dC/dt=-kC²（k：反応速度定数、t：時間）という微分方程式が立てられます。分離変数法で分解します。

まず変数Cとtで分けるためdC/C²＝-kdtの形に変形します。

Cの関数として左辺を、tの関数として右辺をそれぞれ積分します。
∫(1/C²)dC＝∫−kdt
-1/C＝-kt＋定数

初期条件、t＝0の時の濃度を C₀とすると、-1/C₀＝-k × 0 + 定数となり、-1/C₀＝定数が成り立ちます。この式を元の積分後の式に代入します。
-1/C＝-kt＋(-1/C₀)
1/C＝kt＋1/C₀

Cは反応後の原料濃度ですので、50％反応した時はC=C₀/2とみなせます。1時間後に反応率が50%になっていることから反応速度定数を求めます。
1/C＝kt＋1/C₀
1/(C₀/2)＝k × 1＋1/C₀
2/C₀＝k＋1/C₀
k＝1/C₀

反応定数kが求まりましたので、75％反応した時の反応時間を考えます。C=C₀/4です。
1/C＝kt＋1/C₀
1/(C₀/4)＝(1/C₀)t＋1/C₀
4/C₀＝t/C₀ ＋1/C₀
4＝t＋1
t＝ 3 時間

よって反応率が75%となるのは、反応を開始してから3時間後です。